درس مقدماتی بر احتمال دانشگاه MIT – 2 – فضای نمونه

آنچه در این درس ویدیویی گفته خواهد شد:

• فضای نمونه
• دو گام
  • توصیف های نتیجه های ممکن
  • توصیف امکان رخ دادن نتایج
• فهرستی (مجموعه ای) از نتایج ممکن که با امگا بزرگ نشان می دهیم
• این فهرست می بایستی:
  • انحصار متقابل داشته باشد.
  • در مجموع جامع باشد.
  • در دانه بندی درست باشد.

آموزش ویدیویی درس مقدماتی بر احتمال دانشگاه MIT – 2 – فضای نمونه

منبع دوم ویدیویی برای درس مقدماتی بر احتمال دانشگاه MIT – 2 – فضای نمونه

---

کنار هم قرار دادن یک مدل احتمالی – یعنی مدلی از یک پدیده تصادفی یا یک آزمایش تصادفی – شامل دو مرحله است. گام اول، نتایج احتمالی پدیده یا آزمایش مورد علاقه را توصیف می کنیم. مرحله دوم، ما باورهای خود را در مورد احتمال نتایج ممکن مختلف با مشخص کردن یک قانون احتمال توصیف می کنیم.

در اینجا، ما فقط با صحبت در مورد مرحله اول، یعنی شرح نتایج احتمالی آزمایش، شروع می کنیم. بنابراین ما یک آزمایش را انجام می دهیم. مثلاً سکه را پرت می کنیم. یا شاید پنج سکه را به طور همزمان چرخ بزنیم. یا شاید ما یک قالب بریزیم. آن آزمایش هر چه باشد، تعدادی نتیجه ممکن دارد، و ما با تهیه فهرستی از نتایج ممکن شروع می کنیم– یا، یک کلمه بهتر، به جای کلمه “فهرست”، استفاده از کلمه “مجموعه” است که معنای ریاضی رسمی تری دارد.

بنابراین مجموعه ای را ایجاد می کنیم که معمولاً آن را با امگا بزرگ نشان می دهیم. آن مجموعه فضای نمونه نامیده می شود و مجموعه ای از تمام نتایج ممکن آزمایش ما است. عناصر آن مجموعه باید ویژگی های خاصی داشته باشند. یعنی عناصر باید متقابلاً منحصر به فرد و در مجموع جامع باشند. معنی آن چیست؟ انحصار متقابل به این معناست که اگر در پایان آزمایش به شما بگویم که این نتیجه اتفاق افتاده است، پس نباید امکان داشته باشد که آن نتیجه نیز اتفاق افتاده باشد.

در پایان آزمایش، تنها یکی از نتایجی که اتفاق افتاده است می تواند وجود داشته باشد. مجموعاً جامع بودن به معنای چیز دیگری است – این که، با هم، همه این عناصر مجموعه، همه احتمالات را از بین می برند. بنابراین مهم نیست که چه اتفاقی می افتد، در پایان، می توانید به یکی از نتایج اشاره کنید و بگویید، این همان چیزی است که رخ داده است. به طور خلاصه – این مجموعه باید به گونه ای باشد که در پایان آزمایش، همیشه بتوانید به یکی و دقیقاً یکی از نتایج ممکن اشاره کنید و بگویید که این همان نتیجه ای است که رخ داده است.

نتایج فیزیکی متفاوت باید در فضای نمونه متمایز شوند و با نقاط متمایز مطابقت داشته باشند. اما وقتی می گوییم نتایج فیزیکی متفاوتی دارند، منظورمان چیست؟ منظور ما واقعاً از همه جنبه‌های مرتبط متفاوت است، اما شاید در جنبه‌های نامربوط متفاوت نیست. بیایید با نگاه کردن به یک مثال بسیار ساده و شاید احمقانه منظورم را دقیق تر کنیم که در زیر آمده است.

فرض کنید که یک سکه را چرخ می‌زنید و می‌بینید که آیا به سر (شیر) می‌رسد یا دم (خط). بنابراین شما یک فضای نمونه کاملاً قانونی برای این آزمایش دارید که فقط از دو نقطه تشکیل شده است – سر و دم. این دو نتیجه با هم تمام احتمالات را از بین می برند. و این دو نتیجه متقابل هستند. بنابراین این یک فضای نمونه بسیار قانونی برای این آزمایش است.

حال فرض کنید در حالی که سکه را چرخ می زدید، به بیرون از پنجره نیز نگاه می کردید تا وضعیت آب و هوا را بررسی کنید. و سپس می توانید بگویید که فضای نمونه من واقعاً سر است و باران می بارد. یکی دیگر از نتایج احتمالی سر و بدون باران است. یکی دیگر از پیامدهای احتمالی دم است، و باران می بارد، و در نهایت، یک نتیجه ممکن دیگر، دم و بدون باران است. این مجموعه، متشکل از چهار عنصر، همچنین یک فضای نمونه کاملاً قانونی برای آزمایش چرخاندن یک سکه است.

عناصر این فضای نمونه متقابلاً منحصر به فرد و در مجموع جامع هستند. دقیقاً یکی از این نتایج در پایان آزمایش صادق خواهد بود یا محقق خواهد شد. بنابراین کدام فضای نمونه مناسب است؟ این فضای نمونه، فضای دوم، شامل برخی جزئیات بی ربط است. بنابراین، فضای نمونه ترجیحی برای توصیف چرخاندن یک سکه، فضای نمونه ترجیحی، فضای ساده‌تر است، اولین مورد، که با توجه به آنچه ما به آن علاقه داریم، به نوعی در دانه بندی مناسب است.

اما در نهایت، این سوال که کدام یک یکی فضای نمونه مناسب بستگی به نوع سؤالاتی دارد که می خواهید پاسخ دهید. به عنوان مثال، اگر نظریه ای دارید مبنی بر اینکه آب و هوا بر رفتار سکه ها تأثیر می گذارد، برای اینکه با آن نظریه بازی کنید، یا شاید آن را بررسی کنید، و غیره، در چنین حالتی، ممکن است بخواهید با آن کار کنید. فضای نمونه دوم یک ویژگی مشترک در تمام علوم است. هر زمان که یک مدل را جمع آوری می کنید، باید تصمیم بگیرید که می خواهید مدل شما چقدر دقیق باشد. و سطح دقیق جزئیات، سطحی است که جنبه های مرتبط و مورد علاقه شما را به تصویر می کشد.